4.1 証明（解答）の書き方

　証明において必要なことは、「それぞれの文章・数式が正しいことが明らかである」ということです。「正しいことが明らかである」とはどういうことでしょうか？

　当たり前ですが、まずは「文章・数式が正しい」ということです。最終的に得られた解が正しいためには、それまでの文章・数式は全て正しい必要があります。

　そしてもう一つ大切なことが、「正しいことが明らかである」ということです。つまり、単に正しいというだけでは不十分なのです。

　正しいことが明らかであるというのはどういうことでしょうか？それは、解答を読んだときに文章・数式が正しいことが簡単に納得できるということです。もし、解答を読んだ時に「本当に正しいのかな？」と疑問を感じてしまう場合には、正しいことが明らかではありません。正しくない、または、説明が足りていないということになります。

　具体例をあげて考えてみます。

問題

さいころを２回投げるとき，１回目は３以下，２回目は３以上の目が出る確率を求めよ。

良い解答

3以下が出る確率は
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

3以上が出る確率は
$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

よって、求める確率は
$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\\$

良くない解答

$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\\$

良い解答、良くない解答

　良い解答、良くない解答、両方とも解は同じです。どちらも、間違った式を書いているわけではありません。

　ですが良くない解答の方では、 $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}$ という式が導かれることが明らかではありません。

　ただ、もしかしたら上記の式が導かれることは明らかだと思った方もいると思います。正直言って、明らかか明らかでないかの判断は人によって異なっています。テストの場合には、テストの基準や採点者によってその判断の基準は変わってしまいます。

　では、どうすれば良いかと言うと、なるべく詳しく解答を書くことで、正しいことを「より明らかに」するように心がけてください。説明が足りなくて減点されることはあっても、詳しく書きすぎて減点されることは無いからです。

　ここで取り上げたのはとても簡単な例でしたが、どんなに問題が複雑でも同じです。正しいことが明らかな文章・数式を並べていくことで正しい証明というものが出来るのです。

4.2 正しい証明を書くポイント

　この節では、正しい証明を書くためのポイントをより具体的に説明します。ポイントは、計算はとばして論理をとばすなです。

計算はとばす

　まずは、「計算はとばす」についてです。解答用紙を計算用紙がわりに使ってしまっている人が多いかと思います。しかし、そうすると解答用紙が計算で埋め尽くされて、ぐちゃぐちゃになってしまいがちです。

　答案には当たり前の計算は書く必要はありません。計算は別の紙で行なって、ある程度省略して書くことが望ましいです。

　ただし全部の計算を省略していいという訳ではありません。式変形において、当たり前ではない部分、というのは残す必要があります。

　下の例を見てください。

$\begin{aligned} &\sum_{k=1}^n{\{(k+1)^2 + k\}} \\ =&\sum_{k=1}^n{\{k^2+2k+1 + k\}}\\ =&\sum_{k=1}^n{\{k^2+3k+1 \}}\\ =&\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + \frac{3}{2}n(n+1) + n\\ =&\frac{1}{6}(2n^3+3n^2+n) + \frac{3}{2}(n^2+n) + n\\ =&\frac{1}{3}n^3+2n^2+\frac{8}{3}n \end{aligned}$